Repasando el tema de geometría analítica en 4º ESO.

En el siguiente enlace tenéis la prueba corregida del tema para preparar el examen del tema VER

Potencias, radicales y logaritmos

Os dejo el enunciado del examen de este tema y su solución. Espero que os sirva!!

• Examen 4º ESO
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• Solución página 3
• Examen de 3º ESO

Actividades Tema Números reales 4º ESO B

Primero. Échale un vistazo a estos vídeos

Vídeo 1. El número de oro Ver
Vídeo 2. El número de oro Ver
Vídeo 3. El número de oro  Ver
Documento con curiosidades sobre los tres irracionales famosos Ver

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Vídeo 5. El número e Ver

Segundo. Realiza la siguiente actividad

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Por último.
Un regalo. El vídeo papiroflexia Ver

Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777 – 23 de febrero de 1855, s. XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Gauss fue un niño prodigio, hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completó su mágnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta hoy en día.

La primera estancia de Gauss en Gotinga duro tres años, que fueron de los más productivos de su vida. Regreso a su natal Brunswick a finales de 1798 sin haber recibido ningún titulo en la universidad, pero su primera obra maestra estaba casi lista. La obra estuvo lista a finales del año 1798, pero fue hasta 1801. Gauss la escribió en latín y la tituló Disquisitiones arithmeticae. Por supuesto, este libro esta dedicado a su mecenas, el duque Ferdinand, por quien Gauss sentía mucho respeto y agradecimiento. Es un tratado de la teoría de números en el que se sintetiza y perfecciona todo el trabajo previo en esta área. La obra consta de 8 capítulos pero el octavo no se pudo imprimir por cuestiones financieras.

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos, tiene tantas raíces como su grado.

APORTACIONES MATEMÁTICAS

• En 1796 demostró que se puede dibujar el polígono regular de 17 lados con regla y compás.
• Fue el primero en probar rigurosamente el Teorema Fundamental del Álgebra, aunque una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d'Alembert.
  

Realizado por Vanessa Ramírez Cano, 4º A.

Galileo Galilei

Galileo Galilei, 1564-1642, fue un astrónomo, filósofo, matemático y físico que estuvo relacionado estrechamente con la revolución científica. Eminente hombre del Renacimiento, mostró interés por casi todas las ciencias y artes (música, literatura, pintura). Sus logros incluyen la mejora del telescopio, gran variedad de observaciones astronómicas, la primera ley del movimiento y un apoyo determinante para el copernicanismo.
La noticia de la aparición de una estrella «nova», el 9 de octubre de 1604, señala el comienzo de su interés por la astronomía. En 1609 le llegan noticias sobre la existencia del telescopio. Se construye uno, con el que examina el cielo en busca de pruebas contra la astronomía aristotélica.
Sus aportaciones a la historia del pensamiento se pueden agrupar en tres apartados:
1. En la nueva astronomía copernicana y la vieja física aristotélica cuyas bases conceptuales liquidará para siempre.
2. En el campo de la metodología científica.
3. En esa nueva filosofía centrada en el problema de la autonomía de la razón humana que caracterizará a la filosofía moderna..

Esther López Moreno, 4º A.

Isaac Newton

BIOGRAFÍA

Newton fue un físico y matemático del siglo XVII que nació el 4 de enero de 1643 en Inglaterra y murió e 31 de marzo de 1727 en Londres. Fue un hombre que solo confiaba en la razón, su madre pensaba que iba a ser granjero pero cuando se dio cuenta del talento de su hijo lo envió a la universidad de Cambridge, donde tuvo que trabajar para pagarse los estudios. Tras su graduación en 1665, se orientó hacia la investigación en Física y Matemáticas. A los 29 años ya había formulado teorías que señalarían el camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX; por entonces ya había obtenido una cátedra en su universidad (1669). Se considera uno de los protagonistas principales de la llamada “Revolución científica” del siglo XVII y, el padre de la mecánica moderna.

• APORTACIONES MATEMÁTICAS

Newton desarrolló el cálculo infinitesimal, examinó la mecánica del movimiento planetario y llegó a la conclusión de que las desviaciones de los planetas de las órbitas previstas por Kepler se explicaban de acuerdo con sus teorías.
Sus aportaciones más importantes fueron el descubrimiento de las tres leyes fundamentales de la mecánica y la ley de la gravitación universal. Son:
Ley de la Inercia. Ley de las aceleraciones y Ley de acción y reacción.

• APORTACIONES A NUESTRO NIVEL

La ley de la gravedad fue una de las aportaciones de Newton. Esta ley dice: "todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia".

Realizado por Maria del Carmen Teba Pérez, 4º A.

Pitágoras

Pitágoras nació en la isla de Samos en el año 582 A.c. Siendo muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto. Tras regresar Samos, finalizó sus estudios, según Diógenes Laercio con Hermodamas de Samos y luego fundó su primera escuela durante la tiranía de Polícrates. Abandonó Samos para escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en la Magna Grecia, en Crotona alrededor del 525 A.C., en el sur de Italia, donde fundó su segunda escuela.

Las doctrinas de este centro cultural eran regidas por reglas muy estrictas de conducta. Su escuela estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y la conducta discriminatoria estaba prohibida. Sus estudiantes pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Tras ser expulsados por los pobladores de Crotona, los pitagóricos se exiliaron en Tarento donde se fundó su tercera escuela. Poco se sabe de la niñez de Pitágoras.

Todas las pistas de su aspecto físico probablemente sean ficticias excepto la descripción de una marca de nacimiento llamativa de Pitágoras tenía en el muslo. Es probable que tuviera dos hermanos aunque algunas fuentes dicen que tenía tres. Era ciertamente instruido, aprendió a tocar la lira, a escribir poesía y a recitar a Homero. Había tres filósofos entres sus profesores, que debieron de haber influido a Pitágoras en su juventud.

El esfuerzo para elevarse a la generalidad de un teorema matemático a partir de su cumplimiento en casos particulares ejemplifica el método pitagórico para la purificación y perfección del alma, que enseñaba a conocer el mundo como armonía; en virtud de ésta, el universo era un cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que los cuerpos celestes guardaban una disposición armónica que hacía que sus distancias estuvieran entre sí en proporciones similares a las correspondientes a los intervalos de la octava musical. En un sentido sensible, la armonía era musical; pero su naturaleza inteligible era de tipo numérico, y si todo era armonía, el número resultaba ser la clave de todas las cosas. La voluntad unitaria de la doctrina pitagórica quedaba plasmada en la relación que establecía entre el orden cósmico y el moral; para los pitagóricos, el hombre era también un verdadero microcosmos en el que el alma aparecía como la armonía del cuerpo. En este sentido, entendían que la medicina tenía la función de restablecer la armonía del individuo cuando ésta se viera perturbada, y, siendo la música instrumento por excelencia para la purificación del alma, la consideraban, por lo mismo, como una medicina para el cuerpo.

La santidad predicada por Pitágoras implicaba toda una serie de normas higiénicas basadas en tabúes como la prohibición de consumir animales, que parece haber estado directamente relacionada con la creencia en la transmigración de las almas; se dice que el propio Pitágoras declaró ser hijo de Hermes, y que sus discípulos lo consideraban una encarnación de Apolo.

• La primera aportación fue el introducir la necesidad de demostrar la proposición matemática de manera inmaterial e intelectual, al margen de su sentido práctico. Dividió el saber científico en cuatro ramas: la aritmética o ciencia de los números – su lema era “todo es número”- la geometría, la música y la astronomía. También descubrió que existía una estrecha relación entre la armonía musical y la armonía de los números. Teoría de los números entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Geometría demostrativa primitiva: el origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI A.c. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.


• TEOREMA DE PITÁGORAS
  Establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:
  Hay distintas demostraciones de este teorema, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
  Demostración del teorema de Pitágoras basado en el deújo anterior: sea el triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. se trata de demostrar que le área del cuadrado de lado c es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado a y lado b. si añadimos tres triángulos iguales al original dentro des cuadrado de lado c formando un cuadrado de menor tamaño. Se puede observar que el cuadrado resultante tiene efectivamente un lado de b-c. Luego, el área de este cuadrado menor puede expresarse de la siguiente manera:
  Ya que:
  Es evidente que el área del cuadrado de lado c es la suma del área de los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de él más el área del cuadrado menor:

Con lo cual queda demostrado el teorema.

Realizado por Cristina Ramírez Jiménez, 4º C.

María Gaetana Agnesis (1718-1799)

Nació en Milán, el 16 de mayo de 1718, hija de Anna Brivio y de Pietro Agnesi. Creció en un ambiente acomodado y culto. Su padre, consciente de las capacidades de María, se preocupó de que recibiera una amplia educación. Destacó como lingüista, filósofa y matemática.
A edad muy temprana hablaba varios idiomas (francés, alemán, español, latín, griego y hebreo, además de italiano) . Con 9 años publicó una traducción en latín, en defensa de la educación y formación de las mujeres.
En el siglo XVIII, era frecuente que en los salones de las familias acomodadas, se reunieran en tertulia personajes del mundo de la ciencia y la cultura.
También en casa de los Agnesi se celebraban estas sesiones y así, desde sus años de adolescencia, María debatía con la élite intelectual del momento, sobre temas tan diversos como filosofía, la teoría de Newton sobre la gravedad, propagación de la luz, geometría, ...
A los 20 años, al morir su madre, quiso entrar en un convento, pero su padre no se lo permitió. María se dedica a cuidar a sus hermanos (que llegaron a ser veinte, nacidos de los tres matrimonios de su padre), y prosigue con su formación con la ayuda de Ramiro Rampinelli, catedrático de matemáticas de la Universidad de Padua.
Durante diez años trabaja en una de sus obras más importantes "Instituciones Analíticas, al uso de la juventud italiana".

El primer tomo es publicado en 1748; tiene forma de libro de texto y en él María expone de una forma rigurosa pero didáctica, la geometría cartesiana. Un año más tarde se imprime el segundo tomo que es considerado por la Academia de París, como el mejor tratado de cálculo diferencial e integral del momento. En él, había conseguido unificar los distintos trabajos de los matemáticos de la época y además tenía aportaciones de la propia autora.
Dedicó el libro a Mª Teresa de Austria (bajo cuyo reinado estaba Milán). El Papa Benedicto XIV, la propuso para la cátedra de matemáticas de la Universidad de Bolonia (ciudad italiana, perteneciente en esta época a los Estados Pontificios).
Al morir su padre, María tenía 34 años. Con él desaparece la presión que había ejercido sobre ella, en cuanto a la dedicación por el estudio sobre sus preferencias de vida religiosa; y decide dedicarse a obras caritativas para mujeres enfermas, retirándose de toda actividad matemática, hasta su muerte ocurrida el 9 de enero de 1799.

• Aportaciones matemáticas: Una de las partes que más ha trascendido de su obra ha sido una curva de tercer grado, conocida como la bruja o la hechicera de Agnesi.
  María Gaetano Agnesi estudió con detalle una curva, que había sido llamada versiera (del latín vertere, que significa virar, girar). Parece ser que el nombre de "bruja" le viene a la curva de una traducción incorrecta al inglés de una palabra italiana parecida, avversiera, que significa "hechicera, bruja".
  Esta curva es la trayectoria del punto P al recorrer el punto B la circunferencia, según la figura:

La ecuación de la curva es:

Y para a=1 quedará de la forma:

• Es una función par (simétrica respecto al eje de ordenadas)
• Es creciente si x es menor que 0 y decreciente si x es mayor que 0
• Tiene un máximo en el punto (0,1)
• El eje de abscisas es una asíntota horizontal
• El área entre la curva y el eje de abscisas es... (pi) (sólo tienes que hallar la integral de la función) ¡Otro hechizo de la curva, un contorno infinito encierra un área finita!

Realizado por Cristina Cucharero López, 4º C.








Nació en Milán, el 16 de mayo de 1718, hija de Anna Brivio y de Pietro Agnesi. Creció en un ambiente acomodado y culto. Su padre, consciente de las capacidades de María, se preocupó de que recibiera una amplia educación. Destacó como lingüista, filósofa y matemática.

A edad muy temprana hablaba varios idiomas (francés, alemán, español, latín, griego y hebreo, además de italiano) . Con 9 años publicó una traducción en latín, en defensa de la educación y formación de las mujeres.

En el siglo XVIII, era frecuente que en los salones de las familias acomodadas, se reunieran en tertulia personajes del mundo de la ciencia y la cultura.

También en casa de los Agnesi se celebraban estas sesiones y así, desde sus años de adolescencia, María debatía con la élite intelectual del momento, sobre temas tan diversos como filosofía, la teoría de Newton sobre la gravedad, propagación de la luz, geometría, ...

A los 20 años, al morir su madre, quiso entrar en un convento, pero su padre no se lo permitió. María se dedica a cuidar a sus hermanos (que llegaron a ser veinte, nacidos de los tres matrimonios de su padre), y prosigue con su formación con la ayuda de Ramiro Rampinelli, catedrático de matemáticas de la Universidad de Padua.

Durante diez años trabaja en una de sus obras más importantes "Instituciones Analíticas, al uso de la juventud italiana". El primer tomo es publicado en 1748; tiene forma de libro de texto y en él María expone de una forma rigurosa pero didáctica, la geometría cartesiana. Un año más tarde se imprime el segundo tomo que es considerado por la Academia de París, como el mejor tratado de cálculo diferencial e integral del momento. En él, había conseguido unificar los distintos trabajos de los matemáticos de la época y además tenía aportaciones de la propia autora.

Dedicó el libro a Mª Teresa de Austria (bajo cuyo reinado estaba Milán). El Papa Benedicto XIV, la propuso para la cátedra de matemáticas de la Universidad de Bolonia (ciudad italiana, perteneciente en esta época a los Estados Pontificios).

Al morir su padre, María tenía 34 años. Con él desaparece la presión que había ejercido sobre ella, en cuanto a la dedicación por el estudio sobre sus preferencias de vida religiosa; y decide dedicarse a obras caritativas para mujeres enfermas, retirándose de toda actividad matemática, hasta su muerte ocurrida el 9 de enero de 1799.

Una de las partes que más ha trascendido de su obra ha sido una curva de tercer grado, conocida como la bruja o la hechicera de Agnesi.

María Gaetano Agnesi estudió con detalle una curva, que había sido llamada versiera (del latín vertere, que significa virar, girar). Parece ser que el nombre de "bruja" le viene a la curva de una traducción incorrecta al inglés de una palabra italiana parecida, avversiera, que significa "hechicera, bruja".

Esta curva es la trayectoria del punto P al recorrer el punto B la circunferencia, según la figura:

La ecuación de la curva es:

Y para a=1 quedará:

Es una función par (simétrica respecto al eje de ordenadas)

Es creciente si x es menor que 0

Tiene un máximo en el punto (0,1)

El eje de abscisas es una asíntota horizontal

El área entre la curva y el eje de abscisas es... (pi) (sólo tienes que hallar la integral de la función) ¡Otro hechizo de la curva, un contorno infinito encierra un área finita!

HIPATIA

Hipatia fue una fue una filósofa y maestra neoplatónica griega, que destacó en los campos de las matemáticas y la astronomía, miembro y líder de la Escuela neoplatónica de Alejandría a comienzos del siglo V.
Educó a una selecta escuela de aristócratas cristianos y paganos que ocuparon altos cargos, entre los que destacan el obispo Sinesio de Cirene —que mantuvo una importante correspondencia con ella—, Hesiquio de Alejandría y Orestes.
Hipatia es la primera mujer matemática de la que tenemos un conocimiento razonablemente seguro y detallado. Escribió sobre geometría, álgebra y astronomía, mejoró el diseño de los primitivos astrolabios e inventó un hidrómetro.
Hipatia nació en Alejandría, capital de la diócesis romana de Egipto, a mediados del siglo IV y murió a una edad avanzada, 45 ó 60 años, linchada por una turba de cristianos. Su padre fue Teón de Alejandría, un celebre matemático y astrónomo. Hipatia, se educó en un ambiente culto y académico y aprendió matemáticas y astronomía de su padre y es considerada como la primera mujer abocada al estudio de estos.
Esta matemática demostró la generalidad e indeterminación del problema por sustitución de valores numéricos desconocidos que no están relacionados y que no son múltiplos, potencias, raíces cuadradas o fracciones de los originales.

Escribió un tratado sobre la geometría de las Cónicas de Apolonio. También, es autora de un comentario a la Aritmética de Diofanto de Alejandría que demostraba que la aritmética es más que cálculo donde se habla de ecuaciones de primero y segundo grado.

Alva Ávila Roda, 4º C.