viernes, 26 de noviembre de 2010

El tangram ovalado y el tangram del corazón.

Esta entrada está dedicada a la actividad que estamos realizando en la asignatura de Refuerzo de Matemáticas de 2º ESO. Dicha actividad consiste en la construcción de dos tangrams no tan habituales y tan conocidos como es el tangram chino.
Ambos, el tangram ovalado y el tangram del corazón se caracterizan por tener fichas de lados curvos, lo que hace que las figuras que se forman sean visualmente más atractivas.

El tangram Ovalado.
La prehistoria del juego se remonta a 1879, cuando los hermanos Otto y Gustav Lilienthal ingenieros y pioneros de la aviación, inventaron una forma de reproducir unos bloques de manera manuales, llamados piedras de Anker, a partir de arena de cuarzo, yeso y aceite de linaza. La patente de estos bloques fue adquirida posteriormente por Fiedrich A. Richter, quien a partir de 1890 lanzó una línea de puzzles hechos con piedras Anker que podían combinarse para formar figuras nuevas. Uno de ellos fue el tangram ovalado, que vio la luz en 1893, y en el cual se proponían la formación de 95 figuras diferentes con las nueve piezas componentes.




El tangram del Corazón.
Un bonito y romántico tangram que permite formar la figura con forma de corazón que le da su nombre.



Aquí pueden ver algunas de las imágenes del proceso de construcción de ambos tangrams por parte de los alumnos/as:

miércoles, 24 de noviembre de 2010

La Programación Lineal.

La Programación Lineal es uno de los contenidos que se tratan en la materia de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales de 2º de bachillerato. Esta entrada está dedicada a eso, a la programación lineal, y se presenta como un pequeño trabajo de ampliación realizado por los alumnos/as y que ha consistido en contestar a una serie de preguntas. Os mostramos aquí uno de ellos:

  1. ¿En qué consiste la Programación Lineal?
La Programación Lineal (PL) consiste en una de las principales ramas de la Investigación Operativa, con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. Frecuentemente, trata del estudio de complejos sistemas reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento.
En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión.
  • La función f(x,y) = ax + by + c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.
  • Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... ; como mínimo de .... Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.
  • Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina conjunto (o región ) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución.
  • La solución óptima del problema será un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor máximo o mínimo.
Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad.
Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización. Por ejemplo, muchas empresas mediante la Programación Lineal pueden obtener a priori los resultados o los máximos/mínimos beneficios fruto de sus factores productivos para así decidir y llevar a cabo una tarea productiva mucho más eficiente.
* Al final de la presentación, podremos analizar exhaustivamente los usos de la Programación Lineal.
  1. Tipos de soluciones de Programación Lineal
Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser:
  • Factible: si existe la región factible que satisface las restricciones . En este caso nos podemos encontrar:
  1. Solución única. La solución óptima está formada por un único punto con coordenadas reales.
  2. Con solución múltiple. Un problema de Programación Lineal puede tener más de un óptimo. Además, o bien el problema tiene un único óptimo, o bien, tiene infinitos óptimos. Hay infinitas soluciones, que corresponden a los puntos del segmento situado entre dos vértices de la región factible.
    En estos casos, como ya vimos en el capítulo anterior, la función objetivo es paralela a una de las restricciones.
  3. Región factible no acotada, óptimo finito. La no acotación de la región factible no implica necesariamente óptimo infinito. Puede ocurrir que la función objetivo alcance el óptimo en la zona acotada de la región factible. 
  4. Región factible no acotada, óptimo finito e infinito. Puede darse el caso que todos los puntos de una de las semirrectas que determinan la región factible no acotada sean solución del problema
    5.  No factible. Región factible vacía. El conjunto de restricciones de un problema de Programación Lineal puede ser incompatible, conduciendo a una región factible vacía.  El conjunto de soluciones del sistema de desigualdades no determina ninguna región factible.
    Este tipo de problemas carece de solución.
  1. Personas famosas que han estudiado la Programación Lineal.
En los siglos XVII y XVIII, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo, Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.
Posteriormente el matemático fránces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos programación lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.
Recientemente, el matemático ruso Leonodas Vitalyevich Kantarovitch publica una extensa monografía titulada “Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción” en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida llamada, hoy en día, programación lineal .
En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y Kantarovitch, razón por la cual se suele conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantarovitch.
En 1947, G.B. Dantzig formula, en términos matemáticos muy precisos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de programación lineal.
Los fundamentos matemáticos de la programación lineal se deben al matemático norteamericano de origen húngaro Janos von Neuman (1903-1957), quien en 1928 publicó su famoso trabajo “Teoría de Juegos”. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programación lineal y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemático, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.
Janos von Neuman
  1. Usos de la Programación Lineal.
Después de estudiar detalladamente los conceptos básicos de Programación Lineal ubicados en un contexto de aplicaciones de la Investigación Operativa en el mundo empresarial e industrial, se hace preciso describir cómo es posible aplicar los conceptos anteriores en diferentes situaciones prácticas. Este desarrollo de situaciones del mundo real constituye el auténtico desarrollo de la programación lineal. No se tratan de meras aplicaciones, sino del campo específico natural de desarrollo de la programación lineal. Destacamos lo principales campos donde la programación lineal se hace imprescindible:

  • Marketing. La Programación Lineal se utiliza en el campo del marketing y la publicidad como una herramienta que nos permite determinar cuál es la combinación más efectiva de medios para anunciar nuestros productos. En muchas ocasiones partiremos de un presupuesto para publicidad fijo y nuestro objetivo será distribuirlo entre las distintas opciones que se nos ofrecen (televisión, radio, periódicos, revistas, etc.) de forma que nuestros productos tengan la mayor difusión posible.
  • Estudios de mercado.
  • Producción empresarial. A menudo las técnicas de PL permiten decidir sobre la cantidad más adecuada que una empresa debe producir de cada uno de sus productos a fin maximizar los beneficios sin dejar de cumplir con unos determinados requisitos (financieros, de demanda, contractuales, de disponibilidad de materias primas, etc.).
  • Planificación de la producción. El establecer un plan de producción para un período de semanas o meses resulta ser una tarea difícil e importante en la mayoría de las plantas de producción.
  • Asignación de tareas en empresas. El objetivo aquí será asignar de la forma más eficiente posible un trabajo a cada empleado o máquina. Ejemplos de este tipo de asignación serían la distribución de coches patrulla por las calles de una ciudad o la destino de cada jefe de ventas a una determinada zona geográfica. El objetivo puede ser bien minimizar los tiempos o costes de desplazamiento, o bien maximizar la efectividad de las asignaciones.
  • Planificación de horarios. Así pues, en nuestro propio instituto podemos ver una de las aplicaciones de la Programación Lineal.
  • Logística. El llamado problema del transporte se refiere al proceso de determinar el número de bienes o mercancías que se han de transportar desde cada uno de los orígenes a cada uno de los destinos posibles.
  • Mezclas. Por ejemplo, el problema de la dieta. Este problema representa una de las primeras aplicaciones de la PL, y comenzó a utilizarse en los hospitales para determinar la dieta más económica con la que alimentar a los pacientes a partir de unas especificaciones nutritivas mínimas.

CONCLUSIÓN: Con todo lo expuesto anteriormente, podemos decir que la Programación Lineal está presente en nuestros días a menudo, nos facilita las labores administrativas de una forma muy eficiente.

Reflexión: Si un país subdesarrollado utilizase los métodos de la programación lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentaría entre un 10 y un 15% en tan sólo un año.

EJEMPLO PRÁCTICO
En un almacén se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se han de tener almacenados un mínimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, además, el número de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del número de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacén es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje es el mismo para los dos tipos de aceite (1 unidad monetaria) . ¿Cuántos bidones de cada tipo habrá que almacenar para que el gasto sea máximo?
Paso 1º: Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas, x e y, escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones. Expresar el problema en la forma estándar:
Maximizar
Z= f(x,y) = x + y
Restricciones:
x + y <= 150

y >= x/2
x>=0; y>=0
x >= 20 ; y>= 40



Paso 2 º: Representar gráficamente las restricciones y marcar claramente la región factible.
Para las restricciones anteriores debemos representar las rectas: x + y = 150 , y = x/2 , x = 20 e y = 40, obteniéndose la región factible que en la figura se encuentra coloreada.
Paso 3º: Hallar las coordenadas de los vértices del polígono obtenido.
Resolviendo los sistemas : { x = 20, y = 40 } , { y = x/2 , y = 40 } , { y = x/2 , x + y = 150} , { x + y = 150, x = 20}; se obtienen los vértices: A(20,40) , B(80,40) , C(100, 50) , D(20,130)
Paso 4º: Sustituir las coordenadas de esos puntos en la función objetivo y hallar el valor máximo o mínimo. Sustituyendo en f(x,y) = x + y, se tiene:
f(20,40) = 60 , f(80,40) = 120 , f(100, 50) = 150 , f(20,130) = 150
Como el valor máximo se obtiene en los puntos C y D, puede optarse por cualquiera de los dos, o por cualquier punto perteneciente al segmento que los une. Así, por ejemplo, se obtendría el mismo gasto con 40 bidones de aceite girasol y 110 bidones de aceite de oliva; o 90 y 60 respectivamente.
Paso 5º: También es conveniente representar las rectas de nivel para comprobar que la solución gráfica coincide con la encontrada. Esta conveniencia se convierte en necesidad cunado la región factible es no acotada. En nuestro caso, puede comprobarse que las rectas de nivel tienen la misma pendiente que la recta límite de la restricción x + y 150 ; por tanto, hay múltiples soluciones.


viernes, 19 de noviembre de 2010

Usando el "youtube" en clase de Matemáticas.

En este trabajo se trataba de que los alumnos de 2º ESO Alfa ,vieran una serie de vídeos y que a partir de ellos dieran su opinión sobre ellos contestando a una serie de preguntas. Los vídeos, explicaban curiosidades de forma amena sobre los números decimales más importantes en matemáticas, (el número pi, el número de oro y el número e) y sobre el sistema de numeración binario tan importante en informática.


Los vídeos pueden verse en las siguientes direcciones web
  1. VIDEO 1
  2. VIDEO 2
  3. VIDEO 3
  4. VIDEO 4
  5. VIDEO 5
  6. VIDEO 6
  7. VIDEO 7
  8. VIDEO 8
Respuestas de los alumn@s a las siguientes preguntas. 

1.- Indica cosas interesantes que hayas descubierto del número pi, el número e, del número de oro
  • Una de las cosas que he aprendido sobre el número Pi, es que lo utilizaban desde la Antigüedad.
  • Sobre el número e, una de las cosas que he visto es que se utiliza para muchas cosas, como para quantificar el crecimiento de una epidemia, o cuando se hace la prueba del Carbono 14. 
  • Del número de oro, he aprendido que se encuentra en muchos sitios en la vida cotidiana, como en las flores, en la cría de animales...
  • Del número de oro (Ф) he aprendido que Euclides fue el primer matemático que supo como hallar el número de oro, era tomando un segmento un dividirlo en dos, lo que nos daría queAB:AC =AC:CA= Ф = 1.6180339887…
  •  El número ℮ tiene una característica muy especial y es que e (elevado a i y a ) + 1 = 0. El número e es 2.718281828459…
  • Las cosas más interesantes que he descubierto del número pi (∏) es que se haya dividiendo la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro. En matemáticas, para redondear se utiliza solamente 3,14.Antiguamente se creía que el número pi era 3 1/8.
2.- Indica cosas interesantes que hayas descubierto del sistema de numeración binario

  • Sobre el sistema binario, he aprendido que con él también se pueden codificar imágenes, además de textos. Cada 1 ó 0 es equivalente a un bit, Para codificar imágenes, de ponen 1 en los colores oscuros y 0 en los claros, o al revés, Si se quiere una imagen de mejor calidad, se duplican los bits.
  • Del sistema de numeración binaria, que es utilizada como un interruptor, cada cosa tiene dos estados, 0 y 1, pongamos como ejemplo luces: si es 0 esta apagada y si es 1 esta encendida. Ahora bien si tenemos varias luces hay varias combinaciones, y para no tener que esforzarnos mucho, a la primera le ponemos uno, a la siguiente el doble del anterior y asi sucesivamente.  Los numeros se pueden escribir en este sistema, según la combinación. Para averiguarla al numero deseado se lo divide entre dos hasta tener de cociente final 1, se le dan la vuelta al cociente final, a los cocientes y a los restos, y, voilá, ahí esta el numero. Para escribir, se le asocia un numero a cada letra del alfabeto. Cada 0 o 1 es un bit, entonces al escribir cualquier frase tenemos x bits. Un CD tiene una capacidad de 5.900 millones de bits, esto es suficiente para escribir unos pocos libros.
    Un archivo digital se descodifica en bits de la siguiente manera: imaginemos una imagen, y encima de esta una cuadricula de 50 filas por 50 columnas, en cada cuadrado miramos si es mas oscuro o mas claro. Si es oscuro, seria negro, por lo tanto el numero uno. Si es claro se nota como blanco, y se pone un 0. Para ver mejor la imagen, lo logico seria duplicar el numero de cuadraditos y así sucesivamente pero ocuparía mas bits para almacenar información.