lunes, 25 de octubre de 2010

Tool, Fibonaccci, los números metálicos y otras cosas más.

Trabajo realizado por los alumnos / as de Matemáticas de 1 º Bachillerato B, el cual ha consistido en contestar a 6 preguntas de diversos temas relacionados con los números reales y las sucesiones.


1 .- ¿Cuales los Números Metálicos más Importantes? ¿De dónde provienen ? ¿Cual es su expresión matemática?
De los números metálicos, el más conocido es el Número Áureo, o numero de oro, llamado Phi. Este numero es aproximadamente, 1,6180339887 ... Es Un numero irracional, Que se obtiene de la Expresión: (1 + Raíz de 5) / 2


Este número se le conoce como la proporción divina, ya que es un número muy encontrado en la naturaleza. Por ejemplo, si contamos el número de abejas de una colmena y lo dividimos entre el número de zánganos, obtenemos el número de oro.
Si dividimos la longitud del hombro a los dedos y lo dividimos entre la longitud del codo a los dedos, obtenemos Phi.


La manera de obtener números metálicos es mediante una fórmula, que es la siguiente:
x^2-px-q=0

El número de oro se obtiene sustituyendo p = 1 y q = 1
El número de plata es p = 2 y q = 1
El número de bronce es p = 3 y q = 1

Existen infinidad de números metálicos, pero estos son los más importantes.



2 .- ¿De qué polígono regular se puede deducir el Número cordobés? ¿Y El Número de Oro? ¿En qué triangulos aparecen?

El triángulo cordobés se obtiene de un octógono. Al formar triángulos isósceles con un ángulo central de 45º, se obtiene el triángulo que se conoce como cordobés, cuya razón entre el lado mas grande y el más pequeño es 1,307, aproximadamente. Este triángulo recibe este nombre porque se encuentra mucho en la mezquita de Córdoba

El número de oro también viene del triángulo isósceles con un ángulo central de 36º que se obtiene a partir de un decágono, cuya razón entre el lado más grande y el más pequeño es en este caso 1'61....




3ª- ¿Qué relación existe entre la sucesión de Fibonacci y el grupo de música Lateralus? ¿Y con Mario Merz?

La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales. La sucesión se inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

0, 1, 1 ,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

El grupo musical tiene en común con la sucesión de Fibonacci lo siguiente: Un álbum sacado a la venta por este grupo musical, contiene ritmos de tambores provenientes de una batería que se basa en arcanas secuencias numerales (Fibonacci). Si coges el orden numérico de las trece piezas que componen el disco, no es el orden original en el que debería funcionar; por este motivo, hay que reordenar las trece piezas musicales y ahí encontraremos que se produce una sucesión de Fibonacci.

Mario Merz es famoso, sobre todo, por sus iglúes formados con materiales diversos, que comenzó a elaborar en 1968. y por sus trabajos en los que usa de forma frecuente la sucesión de Fibonacci desde la década de los 70. Destacan la obra situada en el Puerto de Barcelona y en el metro de Nápoles.



4ª- ¿Qué tienen en común el cuadro de Dalí “Leda Atómica”, “La fachada de la iglesia de Santa María de Novella” en Florencia y el Partenón griego?


La obra de Dalí contiene una gran tradición matemática, especialmente Pitagórica. Se trata de una filigrana  basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que es imposible verla a simple vista. En el boceto de 1947 se puede observar el análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama pitagórico. 



Los elementos de la fachada de la iglesia de Santa María de Novella se relacionan unos con otros en proporción áurea. Si dividimos, por ejemplo, el frontón superior en dos triángulos rectángulos; cada uno de ellos es la mitad de un rectángulo de oro. Si nos fijamos ahora en el gran rectángulo que se encuentra justo debajo del frontón; de nuevo la proporción áurea. El rectángulo áureo está íntimamente ligado al número de oro. La composición de la fachada de Santa María Novella, no obstante, usa también otras proporciones basadas en el cuadro y asociadas al número de oro. Pero su belleza proviene de la proporción matemática y geométrica de sus elementos. 


El Partenón griego es una construcción con un ejemplo más claro del saber en geometría por parte de los matemáticos y arquitectos griegos. Es octóstilo y períptero (que tiene columnas en todo su perímetro). Las dimensiones y proporciones utilizadas en la fachada no fueron  resultado de la casualidad, sino que los griegos pensaban que eran mucho más bellas y armoniosas si quedaban ajustadas a un número conocido en la actualidad como razón áurea o número de oro.
  




5ª- Leonardo de Pisa “Fibonacci” es famoso por dar a conocer su sucesión pero también otra cosa no menos importante ¿De qué se trata?     


Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, fue el inventor de la sucesión de Fibonacci, pero también fue quien se encargó de introducir la numeración arábiga en Europa, para sustituir a los números romanos. Gracias a él, ahora podemos usar este sistema de numeración, que, sin su ayuda, hubiera caído en el olvido.

También fue el inventor del llamado triángulo de Fibonacci, con el cual pudo demostrar la ecuación: 

1^3+2^3+3^3…+n^3 = (1+2+3…+n)^2



6ª- ¿Qué tiene en común la escala de Richter usada para medir la intensidad de los terremotos y el Ph?


Escala Richter
Inventada en 1935 por el sismógrafo estadounidense del mismo nombre, ofrece una medida objetiva de la intensidad de un terremoto.
Funcionamiento
Cada uno de los valores de la escala constituye un logaritmo en base 10 que mide la amplitud de las ondas sísmicas registradas por un sismógrafo. Gracias a esta escala se puede registrar la magnitud de los terremotos, y así se puede estudiar su comportamiento y crear medidas de prevención.

Escala de pH
Mide la acidez de una concentración (se produce por los niveles de iones hidronios). Es un conjunto de fórmulas en las que el logaritmo negativo de la concentración de hidronios es igual, menor, o mayor a 7, y estos valores pueden oscilar entre el 0 y el 14, de este modo distinguimos estos intervalos:
0-7: pH ácidos
7: pH neutro
7-14: pH básico.
Gracias a esta escala se pueden estudiar importantes fenómenos biológicos, y sirve de ayuda para tratar bien la piel o predecir alergias.


Conclusión: Ambas se basan en el empleo de logaritmos (debido a sus enormes y pequeñas cantidades que tratan).

miércoles, 20 de octubre de 2010

Trabajo sobre Números Primos.

Las siguientes preguntas forman parte del Trabajo del Tema 1 "Enteros y Divisibilidad" de los alumnos / as de 2 º de ESO Alfa del IES Alfonso XI de Alcalá la Real.



1. ¿Qué dice la conjetura de Goldbach? ¿Qué significa conjetura? ¿En qué año se hizo dicha conjetura? Pon ejemplos.


La conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
Una conjetura es la opinión o la valoración que tenemos sobre una cosa después de observar o tener indicios de algo. En matemáticas una conjetura es una afirmación que no ha sido probada ni desmentida, una vez que es probada, es un teorema.
La conjetura de Goldbach se hizo en el año 1742.
Ejemplos:
4=2+2
6=3+3
18=7+11
20=17+3.
Hay un video interesante sobre esta conjetura en youtube, sigue el enlace.


2. ¿Qué son los números primos de Mersenne? Pon ejemplos.

Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2. Siendo n un número primo.
Mn = 2n −1
Ejemplos:
M2 = 22 −1 M2 = 4−1=3
M3 = 23 −1 M3 = 8−1=7
M5 = 25 −1 M5 = 32−1=31


3. ¿Quién es Sophie Germain? ¿Cuáles son los primos que llevan su nombre?

Marie-Sophie Germain nació en 1776 y murió en 1831, fue una matemática francesa. Uno de sus más importantes trabajos, fue el estudio de los llamados números primos de Sophie Germain. Comenzó a estudiar matemáticas a los 13 años, pero a sus padres no les parecía bien. Más tarde consiguió apuntes de algunas clases de la Escuela Politécnica de París, ya que no admitían mujeres. Bajo sus seudónimos, mantuvo correspondencia con Lagrange y con Gauss, aunque a ambos les conoció posteriormente. Lagrange se convirtió en su protector. En 1811 participó en un concurso de la Academia Francesa de las Ciencias , aunque fue rechazada dos veces lo ganó en 1816 por lo que fue la primera mujer que asistió como miembro a las sesiones de la academia y la puso junto a los grandes matemáticos de la historia.
Un número primo p es un número de Sophie Germain si 2p+1 también es un número primo, es decir, son los números primos cuyo doble aumentado en una unidad es también un número primo.
Ejemplos:
P=2, 2*2+1=5
P=3, 3*2+1=7
P=5, 5*2+1=11


4. ¿Quién fue Ramanujan? ¿Cuál es el número de Hardy-Ramanujan? ¿Qué le pasó a Ramanujan con un taxi?

Srinivāsa Aaiyangār Rāmānujan fue un matemático hindú, nació en 1887 .A los doce años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un libro con 6000 teoremas conocidos, sin demostraciones. Pero sin embargo suspendió los exámenes universitarios porque solo le interesaban sus diversiones matemáticas.
En 1912 comunicó sus resultados a tres importantes matemáticos, pero solo le respondió Godfrey Harold Hardy, quien junto a un amigo suyo descifró 120 formulas y teoremas de Ramanujan, pensó que estaba ante un genio, por lo que le invitó a ir a Inglaterra y en 1914 comenzaron a trabajar juntos; aunque debido a su salud murió tres años después.

El número de Hardy-Ramanujan es el 1729, es el número natural más pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes.
1729 = 13 + 123 = 93 + 103 = 1+1728 = 729+ 1000.


La historia del taxi es la anécdota que le da nombre a éstos números.Cuando Ramanujan estaba enferrmo en el hospital, Hardy iba a visitarlo y cogió un taxi, el número del taxi era 1729, le pareció un número soso, poco interesante. Al llegar al hospital, le dijo a Ramanujan que ése número era muy aburrido y éste le contestó diciéndole que era un número muy interesante, porque era el número más pequeño que se podía expresar como la suma de dos cubos positivos de dos formas distintas.


5. ¿Qué forma tienen los números primos de Fermat? Escribe cuáles son los cinco primeros números primos de Fermat ¿Quién y cuándo demostró que el quinto no era primo?


Fermat realizó la conjetura de que todos los números naturales de la forma:




siendo n natural, eran números primos.  


Los cinco primeros números de Fermat son:

F0 = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537
Leonhard Euler demostró en 1732 que el quinto no era primo. Al tomar n= 5 se obtiene un número compuesto: el 4294967297



lunes, 18 de octubre de 2010

I Concurso de Resolución de Problemas Lógicos. Bases.

Objetivo.
El concurso consiste en poner a prueba tus habilidades lógico-matemáticas.

Niveles de participación.
Nivel 1: 1º y 2º de ESO
Nivel 2: 3º y 4º de ESO
Nivel 3: 1º y 2º de Bachillerato y resto de la comunidad educativa

Modo de participación.
Dos formas:
  • Vía correo electrónico: Deberás mandar un correo con la solución y tus datos personales a la dirección matealfonso11@gmail.com

No olvides poner en el asunto el título del problema y el nivel

  • Modo tradicional: Para participar sólo debes seguir tres simples pasos:
Paso 1: Coge la hoja oficial del concurso en copistería
Paso 2: Rellena tus datos personales (nombre, apellidos y curso) y resuelve el problema
Paso 3: Entrega tu problema resuelto a cualquiera de tus profesores de matemáticas en la fecha prevista

A tener en cuenta.
La participación habitual y positiva en el concurso será valorada por tus profesores de matemáticas

Premios.
Habrá suculentos premios para los primeros clasificados de cada categoría

Los problemas serán expuestos semanalmente en el blog:



COMIENZO DEL CONCURSO DÍA 2 DE NOVIEMBRE

II Concurso de Fotografía Matemática IES Alfonso XI. Bases.


¿Quiénes pueden participar?  
Está abierto a todo el alumnado del instituto en su fase de concurso y a todos los miembros de la comunidad educativa en su fase de exposición.


Tema.
El tema de las fotografías tiene que estar relacionado con el mundo de las matemáticas, en sus múltiples manifestaciones (figuras geométricas, mosaicos, simetrías, cálculo numérico, estadística y azar, etc.). A modo de inspiración, los miembros del departamento recomendamos visitar la web siguiente
 
Presentación. 
Las fotografías se enviarán por correo electrónico a la dirección matealfonso11@gmail.com escribiendo en el asunto “Fotografía Matemática” y en el cuerpo del correo: “Los datos personales del autor/a de la fotografía y el título de la foto”

Plazo. 
El plazo de presentación de fotografías finaliza el 15 de Enero

Jurado. 
Estará formado por el profesorado del Dpto. de Matemáticas y valorará la originalidad e idoneidad del título y su contenido matemático

Premios.
Se establecen 3 suculentos premios para los tres primeros clasificados. Nota: Un mismo alumno/a no podrá acumular más de un premio.

Uso de las imágenes. 
El Dpto. se reserva el derecho a utilizar las fotografías presentadas para usos didácticos, así como a solicitar a los autores de las imágenes premiadas los negativos o soporte digital.

Autoría de las imágenes. 
Las fotografías deben ser originales y en ningún caso se aceptarán  fotos descargadas de Internet, ni escaneadas de ningún tipo de medio gráfico. El Dpto. comprobará minuciosamente la autoría de todas las fotos premiadas exigiendo al alumno/a que demuestre la autoría de la misma. No se acepta tampoco, ningún tipo de retoque fotográfico que cambie el contenido de la misma.

A tener en cuenta. 
La participación en el concurso será valorada por tu profesor/a de matemáticas. Así mismo, las mejores fotografías participarán en el concurso de fotografía matemática a nivel regional