Álgebra para 2º ESO.

Esta entrada está diseñada para trabajar el tema de álgebra en 2º ESO. Que os sea de provecho.

• Resúmenes
• Identidades notables. Demostraciones geométricas y ejercicios
• Lo que no debes olvidar

• Para reforzar lo trabajado en clase: 
• Expresiones algebraicas
• Monomios
• Polinomios
• Identidades notables
• Ejercicios de Refuerzo (Solucionados)
• Posible examen del tema resuelto

• Para investigar:
• El triángulo de Pascal y las identidades notables
• Series numéricas
• Gauss

• Demostración geométrica de las identidades notables
• Ver powerpoint

• Para reirnos. Unos curiosos y divertidos vídeos dedicados al álgebra (están en inglés):
• Algebra a little history
• Algebra aversion Cuidado con el demonio!!

Corazones entrelados usando la cinta de Möebius.

Ahora que se acerca San Valentín, y para que digan que los matemátic@s no somos sensibles, os proponemos desde el departamento una buena y matemática forma de expresar tu amor por la otra persona. Os animamos a contruir dos corazones entrelazados usando la cinta de Möebius

El vídeo siguiente, tomado de la estupenda web de matemáticas http://i-matematicas.com/, muestra el proceso de creación de los corazones entrelazados.

Geometría Analítica.

El tema 5 del libro de 1º de Bachillerato de Ciencias y Tecnología se titula Geometría Analítica y engloba el estudio de los vectores y el estudio de la recta en el plano.
Como refuerzo para lo dado en clase, aquí tenéis en esta entrada una serie de enlaces donde podéis encontrar resúmenes de la teoría, ejercicios resueltos y algunos ejercicios que deberéis realizar y entregar el día del examen.

• Vectores en el plano
• Teoría de Geometría Analítica con ejemplos (Muy bueno)
• Resumen de lo que no hay que olvidar
• Ejercicios Resueltos de vectores I
• Ejercicios Resueltos de vectores II
• Ejercicios Resueltos de la recta I
• Ejercicios Resueltos de la recta II

• Ejercicios Propuestos de vectores (Se entregan en folio aparte grapados) 
• Ejercicios Propuestos de la recta (Se entregan en folio aparte grapados)

Números complejos, iteraciones y fractales.

Esta entrada está realizada a partir de los trabajos realizados por alumnos/as de 1º Bachillerato B sobre los fractales.


Cuando se explica el tema de los números complejos, las caras de los alumnos muestran que algo que para ellos estaba claro, como era la no existencia de raíces cuadradas de números negativos, se cae "a modo de castillo de naipes", porque aparecen unos números extraños, que nunca antes habían escuchado y que en principio están totalmente alejados del sentido común y de algo que ellos pueden tocar o ver en su día a día. De hecho nada parece más apartado de la realidad que “inventar” un número, llamado“ i ”, que es la raíz cuadrada de -1. En un mundo imaginario, ese número sería de tal forma que podríamos construir con él un cuadrado de superficie negativa e igual a -1.
La historia de dar cierto sentido a estos números comienza con la resolución de ecuaciones y termina como otras tantas cosas en matemáticas,  con uno de los matemáticos más importantes de la historia, como fue Gauss.

Como curiosidad, el número i, junto con los números trascendentes PI (relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro) y el e (base de los logaritmos naturales o neperianos), aparece en la más bella expresión matemática que existe, la ecuación de Euler. Esta expresión que liga a tres de los números más importantes de las matemáticas también es un ejemplo de la rica conexión entre los números, sus propiedades y la realidad física de todo orden.

¿Y para que sirven los números complejos?
Los números complejos sirven  para calcular ciertas integrales reales que son difíciles de calcular con los métodos tradicionales. Se utilizan para resolver problemas en diversos campos: en matemáticas, en electromagnetismo, en movimiento ondulatorio…los cosmólogos que desarrollan la teoria del Big Bang sobre el origen del universo, trabajan la magnitud tiempo a partir de estos números. Los números complejos también juegan un papel esencial en la mecánica cuántica. Pero es que además también sirven para construir los fractales que luego estudiaremos y que tienen una conexión directa, por ejemplo, con la medicina ya que se usa la dimensión fractal para diagnosticar ciertas enfermedades de los huesos.  


En fin, que lo que en principio estaba alejado de la realidad, y era algo extraño, sin ningún uso, o como mucho limitado a la distracción de esos "locos matemáticos", ha terminado, como otras tantas veces por ser algo importante, y de hecho esencial para ampliar el conocimiento en otros aspectos de la ciencia. Una vez más las matemáticas al servicio de la ciencia.  

Pero... ¿Es necesario comprender los números complejos para disfrutar de los fractales?
La verdad es que no, porque el gozo visual que sentimos al observar ciertos fractales surge en nuestra mente aún sin saber las 4 reglas elementales del cálculo, pero para entender el porqué de esa belleza, lo que se esconde en su interior y los secretos que nos aguardan al sumergirnos en ella necesitamos recurrir a los números complejos, pues los fractales son "hijos" de los complejos, viven, existen y se comprenden sólo gracias a estos números tan especiales.

Según la RAE  un fractal es una figura plana o espacial compuesta de infinitos elementos, que tiene la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe.

Según la Wikipedia un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura/forma se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. 

Los fractales poseen unas características determinantes:

• Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
• Posee detalle a cualquier escala de observación.
• Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).
• Se define mediante un simple algoritmo recursivo (Iteración)

La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria. No tienen dimensión uno, dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados. Los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero muchas veces entre ellos. 

De hecho, la noción de dimensión fractal (fraccional) provee una manera de medir lo rugosa es una curva. Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. Sin embargo, una curva rugosa que recorre una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en la que se encuentra. Superficies como el follaje de una árbol o el interior de un pulmón pueden efectivamente ser tridimensionales. Podemos, entonces, pensar de la rugosidad como un incremento en la dimensión: una curva rugosa tiene una dimensión entre 1 y 2, y una superficie rugosa la tiene entre 2 y 3.

  

Existen muchas estructuras matemáticas que son fractales, como por ejemplo, el triángulo de Sierspinski, la curva de Koch y la esponja de Menger. 

Curva de Koch

Triángulo de Sierpinski

Pero los fractales más famosos son el conjunto de Mandelbrot y los conjuntos de Julia, que se obtienen iterando una simple expresión compleja hasta el infinito y comprobando que tiene límite la sucesión creada. Dependiendo de la rapidez de convergencia de la serie aparecen unos puntos u otros.
Los procesos iterativos tienen una gran importancia en matemáticas, así que próximamente le dedicaremos una entrada, mientras tanto, puedes leer lo que se dice sobre ellos en wikipedia y las siguientes transparencias (Ojo la iteración de Mandelbrot es z al cuadrado + c)

Fractal de Mandelbrot

Conjunto de Julia

Existen un tipo de fractales muy curiosos que suceden en la vida real, son los llamados fractales naturales: son aquellos fractales que se dan en la naturaleza (de ahí el nombre) y pueden ser descritos mediante la geometría fractal.

Nubes 

Helechos

Doñana

Brocoli Romanescu

Con la ayuda del ordenador podemos describir y generar, con una reducida cantidad de información, numerosas formas y procesos de la naturaleza como una nube, un paisaje, una planta, etc. (Recomiendo el programa Fractint para generar fractales, lo podéis localizar en las webs recomendadas).

Por otra parte, la capacidad de los modernos ordenadores nos permite obtener imágenes fractales realmente espectaculares permitiendo otras aplicaciones de la geometría fractal de carácter artístico y de ocio, que de hecho algunas de ellas son usadas en el cine. 

Para ampliar información y aprender más de los fractales

• Área fractal
• Estupenda web sobre el mundo de los fractales

Por último y para terminar, os dejo dos enlaces de dos powerpoints sobre números complejos (el segundo de ellos realizado por una alumna de 1º bachillerato B).

• Números Complejos I   
• Números Complejos II 

Introducción a las derivadas.

Esta entrada pretende acercar las derivadas a los alumn@s de 2º Bachillerato de Ciencias Sociales. En ella podeis encontrar algo de historia, su definición, algunas aplicaciones a la vida real y por supuesto ejercicios para practicar. Espero que os sea de provecho.

• Algo de historia.
• El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro pais.
• Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.

• Estupenda tabla con las derivadas de todos los tipos de funciones y ejemplos de cada una: 
• Ir al enlace (Para usar en clase)

• Interpretación geométrica de la derivada
• Ir al enlace

• Ejemplos de cálculo de derivadas: (Practica con ellas)
• Inmediatas
• Sumas, productos y cocientes
• Exponenciales 
• Trigonométricas

• Ejercicios resueltos de cálculo de derivadas: (Practica con ellos)
• Ir al enlace

• Para saber más. 2 vídeos:
• Vídeo 1
• Vídeo 2

Proporcionalidad.

Esta entrada está dedicada al tema de proporcionalidad de 2º de ESO, el cual tiene los siguientes apartados:

• Razón, proporción, magnitudes 

• Magnitudes directa proporcionales
• Regla de tres directa
• Reducción a la unidad
• Repartos directamente proporcionales

• Magnitudes Inversamente proporcionales.
• Regla de tres inversa.
• Reducción a la unidad
• Repartos inversamente proporcionales

• Proporcionalidad Compuesta

• Porcentajes
• Problemas de total y parte
• Aumentos porcentuales
• Disminuciones porcentuales 

En los siguientes apartados puedes practicar y repasar los contenidos anteriores. Así mismo, en el último apartado tienes una práctica que deberás realizar y entregar el día del examen: 

• Repasa la teoría
• Ejercicios de refuerzo del tema 1ª Parte (Solucionados)
• Ejercicios de refuerzo del tema 2ª Parte (Solucionados)
• Para saber más:
• Enlace 1 "La relación de aspecto"
• Enlace 2 "¿Podría haber existido King Kong?"
• Enlace 3. "Proporcionalidad en Liliput"

• PRÁCTICA. "Estos ejercicios se entregan el día del examen en folios aparte con el nombre puesto y grapados"

PRACTICA.
1.- De las siguientes tablas de valores, di cuáles corresponden a una proporcionalidad directa:

2.- Completa la serie de dibujos sabiendo que la razón de proporcionalidad es 2/3

3.- ¿ Cuál es la razón de proporcionalidad ?

4.- Vertemos diferentes cantidades de agua en un vaso cónico. En cada vertido medimos la altura del agua y su volumen, y la pregunta es: ¿ Es el volumen directamente proporcional a la altura ?

5.- El radio del Sol mide 695.950 Km. Estima la superficie de la mancha solar 9463.

6.- Esto es un dibujo de un virus de la gripe. Consulta lo que es un nanómetro en el tema de potencias)

¿Cuál es la ampliación del microscopio?

7.- Vista aérea de un bosque que muestra la posición de los árboles:

 

8.- Juegas a la lotería con un décimo de 20 €. para el que tú pusiste 7 y tu amigo 13. Si os toca un premio de  180000 €. ¿Cuánto debería de corresponder a cada uno?


9.- En cierto mapa, cada centímetro medido representa en la realidad 32 Km. Se dice entonces que el mapa está hecho a escala 1:32. Completa la tabla siguiente:

10.- Con las provisiones de forraje, un pastor puede alimentar durante el invierno un rebaño de 36 cabezas durante tres meses. ¿Cuántos animales debe vender para poder alimentar a su rebaño durante 5 meses?


11.- Una gallina y media pone 1 huevo y medio en 1 día y medio, ¿cuántos huevos pondrán 9 gallinas en 9 días?


12.- Con las provisiones de forraje, un pastor puede alimentar durante el invierno un rebaño de 36 cabezas durante tres meses. ¿Cuántos animales debe vender para poder alimentar a su rebaño durante 5 meses?.


13.- Tres amigos compran lotería por valor de 15 €. El primero pone 3 €, el segundo 4 € y el tercero 8 €. Obtienen un premio de 3000 € y deciden repartirlo de forma proporcional a lo que puso cada uno. ¿Cuánto correspondería a cada uno?


14.- La siguiente tabla representa datos de dos magnitudes proporcionales. Indica cuál es la constante de proporcionalidad

15.- Completa la siguiente tabla sabiendo que sus magnitudes son directamente proporcionales

16.- Si para hacer un bizcocho para 3 personas se necesita medio litro de leche, 200 gr. de azúcar y 3 huevos, ¿Qué necesitaremos para hacer el mismo tipo de bizcocho para 5 personas?

17.- Completa la siguiente tabla de precios:

18.- Completa la siguiente tabla de precios (en €):

19.- En una clase de 28 alumnos, 7 suspendieron Matemáticas. ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron?


20.- En una parcela tenemos que dedicar el  de la misma a jardines y pretendemos construir una casa en el resto.

 a) Si la parcela tiene 350 , ¿De cuantos  disponemos para construir? 
 b) Si queremos construir una casa de 90 , ¿Cuantos metros cuadrados de parcela necesitaremos como mínimo?

Un pequeña historia de los números complejos.

La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide.

Los números complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos.

El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.

Los números complejos tienen a la Ingeniería Eléctrica como campo fundamental de aplicación práctica, no obstante están presentes en otras disciplinas científicas.

De Wikipedia

Os dejamos algunos enlaces interesantes para trabajar este tema:

• Teoría, ejercicios y problemas de números complejos 

Los ejercicios y problemas de este apartado son opcionales,

 pero todo el trabajo que hagáis será valorado si lo presentáis 

 el día del primer examen 

• Calculadora con números complejos
• Números Complejos y fractales
• Leer más sobre números complejos
• Y para leer aún más

FELIZ AÑO 2011

No os podemos desear feliz año nuevo 2011, sin comentaros que es otro número primo suma de 11 números primos consecutivos:

2011=157+163+167+173+179+181+191+193+197+199+211,

¿No es curioso? ¿Será premonición de que será un año especial?
Nos podriamos seguir haciendo más preguntas, pero yo creo que solo son curiosidades para ponerse a pensar.