Exámenes realizados en 1º Bach A durante el curso y apuntes de límites.

Os dejo en los siguientes enlaces los exámenes que hemos hecho durante el curso por si lo queréis usar para el examen final de Junio:

• Examen 1
• Examen 2
• Examen 3
• Examen 4
• Examen 5
• Examen 6
• Examen 7
• Examen 8 (2 parcial tercera evaluación)

Así mismo, os dejo un enlace a un documento para ampliar/reforzar información sobre límites VER

Tool, Fibonaccci, los números metálicos y otras cosas más.

Trabajo realizado por los alumnos / as de Matemáticas de 1 º Bachillerato B, el cual ha consistido en contestar a 6 preguntas de diversos temas relacionados con los números reales y las sucesiones.

1 .- ¿Cuales los Números Metálicos más Importantes? ¿De dónde provienen ? ¿Cual es su expresión matemática?

De los números metálicos, el más conocido es el Número Áureo, o numero de oro, llamado Phi. Este numero es aproximadamente, 1,6180339887 ... Es Un numero irracional, Que se obtiene de la Expresión: (1 + Raíz de 5) / 2

Este número se le conoce como la proporción divina, ya que es un número muy encontrado en la naturaleza. Por ejemplo, si contamos el número de abejas de una colmena y lo dividimos entre el número de zánganos, obtenemos el número de oro.

Si dividimos la longitud del hombro a los dedos y lo dividimos entre la longitud del codo a los dedos, obtenemos Phi.

La manera de obtener números metálicos es mediante una fórmula, que es la siguiente:

x^2-px-q=0

El número de oro se obtiene sustituyendo p = 1 y q = 1

El número de plata es p = 2 y q = 1

El número de bronce es p = 3 y q = 1

Existen infinidad de números metálicos, pero estos son los más importantes.

2 .- ¿De qué polígono regular se puede deducir el Número cordobés? ¿Y El Número de Oro? ¿En qué triangulos aparecen?

El triángulo cordobés se obtiene de un octógono. Al formar triángulos isósceles con un ángulo central de 45º, se obtiene el triángulo que se conoce como cordobés, cuya razón entre el lado mas grande y el más pequeño es 1,307, aproximadamente. Este triángulo recibe este nombre porque se encuentra mucho en la mezquita de Córdoba

El número de oro también viene del triángulo isósceles con un ángulo central de 36º que se obtiene a partir de un decágono, cuya razón entre el lado más grande y el más pequeño es en este caso 1'61....

3ª- ¿Qué relación existe entre la sucesión de Fibonacci y el grupo de música Lateralus? ¿Y con Mario Merz?

La sucesión de Fibonacci es una sucesión infinita de números naturales. La sucesión se inicia con 0 y 1, y a partir de ahí cada elemento es la suma de los dos anteriores.

0, 1, 1 ,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

El grupo musical tiene en común con la sucesión de Fibonacci lo siguiente: Un álbum sacado a la venta por este grupo musical, contiene ritmos de tambores provenientes de una batería que se basa en arcanas secuencias numerales (Fibonacci). Si coges el orden numérico de las trece piezas que componen el disco, no es el orden original en el que debería funcionar; por este motivo, hay que reordenar las trece piezas musicales y ahí encontraremos que se produce una sucesión de Fibonacci.

Mario Merz es famoso, sobre todo, por sus iglúes formados con materiales diversos, que comenzó a elaborar en 1968. y por sus trabajos en los que usa de forma frecuente la sucesión de Fibonacci desde la década de los 70. Destacan la obra situada en el Puerto de Barcelona y en el metro de Nápoles.

4ª- ¿Qué tienen en común el cuadro de Dalí “Leda Atómica”, “La fachada de la iglesia de Santa María de Novella” en Florencia y el Partenón griego?

La obra de Dalí contiene una gran tradición matemática, especialmente Pitagórica. Se trata de una filigrana  basada en la proporción áurea, pero elaborada de tal forma que es imposible verla a simple vista. En el boceto de 1947 se puede observar el análisis geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama pitagórico. 

Los elementos de la fachada de la iglesia de Santa María de Novella se relacionan unos con otros en proporción áurea. Si dividimos, por ejemplo, el frontón superior en dos triángulos rectángulos; cada uno de ellos es la mitad de un rectángulo de oro. Si nos fijamos ahora en el gran rectángulo que se encuentra justo debajo del frontón; de nuevo la proporción áurea. El rectángulo áureo está íntimamente ligado al número de oro. La composición de la fachada de Santa María Novella, no obstante, usa también otras proporciones basadas en el cuadro y asociadas al número de oro. Pero su belleza proviene de la proporción matemática y geométrica de sus elementos. 

El Partenón griego es una construcción con un ejemplo más claro del saber en geometría por parte de los matemáticos y arquitectos griegos. Es octóstilo y períptero (que tiene columnas en todo su perímetro). Las dimensiones y proporciones utilizadas en la fachada no fueron  resultado de la casualidad, sino que los griegos pensaban que eran mucho más bellas y armoniosas si quedaban ajustadas a un número conocido en la actualidad como razón áurea o número de oro.

  

5ª- Leonardo de Pisa “Fibonacci” es famoso por dar a conocer su sucesión pero también otra cosa no menos importante ¿De qué se trata?     

Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, fue el inventor de la sucesión de Fibonacci, pero también fue quien se encargó de introducir la numeración arábiga en Europa, para sustituir a los números romanos. Gracias a él, ahora podemos usar este sistema de numeración, que, sin su ayuda, hubiera caído en el olvido.

También fue el inventor del llamado triángulo de Fibonacci, con el cual pudo demostrar la ecuación: 

1^3+2^3+3^3…+n^3 = (1+2+3…+n)^2

6ª- ¿Qué tiene en común la escala de Richter usada para medir la intensidad de los terremotos y el Ph?

Escala Richter

Inventada en 1935 por el sismógrafo estadounidense del mismo nombre, ofrece una medida objetiva de la intensidad de un terremoto.
Funcionamiento
Cada uno de los valores de la escala constituye un logaritmo en base 10 que mide la amplitud de las ondas sísmicas registradas por un sismógrafo. Gracias a esta escala se puede registrar la magnitud de los terremotos, y así se puede estudiar su comportamiento y crear medidas de prevención.

Escala de pH

Mide la acidez de una concentración (se produce por los niveles de iones hidronios). Es un conjunto de fórmulas en las que el logaritmo negativo de la concentración de hidronios es igual, menor, o mayor a 7, y estos valores pueden oscilar entre el 0 y el 14, de este modo distinguimos estos intervalos:
0-7: pH ácidos
7: pH neutro
7-14: pH básico.
Gracias a esta escala se pueden estudiar importantes fenómenos biológicos, y sirve de ayuda para tratar bien la piel o predecir alergias.


Conclusión: Ambas se basan en el empleo de logaritmos (debido a sus enormes y pequeñas cantidades que tratan).

Pierre Simon Laplace

Pierre Simon de Laplace nació en Francia, el 28 de marzo de 1749 y murió en París, el 5 de marzo de 1827. Astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló el Teorema de laplace.
Anécdota:
Con la obra: Exposition du système du monde, expone una teoría sobre la formación del Sol y del sistema solar a partir de una nebulosa. Napoleón contó: "Aunque esa hipótesis pueda explicar todo, no permite predecir nada".
Teorema de Laplace:
Afirma que el determinante de una matriz es igual a la suma de los determinantes de los adjuntos de cualquier fila o columna de la matriz, lo que reduce un determinante de dimensión n a n determinantes de dimensión n-1.

Aportaciones:

• La astronomia:
  Laplace propuso una teoría para justificar las variaciones de las órbitas planetarias, que ni siquiera Newton pudo explicar matemáticamente por qué la órbita de Júpiter se contrae continuamente, mientras que la de Saturno se expande. Su demostración matemática permanece inalterada hasta la actualidad, con excepción de pequeñas correcciones.
• La física:
  Laplace escribió numerosos artículos acerca de las fuerzas elementales de la naturaleza, el equilibrio de una masa líquida en rotación y propuso una teoría sobre la tensión superficial. Al estudio de la electricidad y el magnetismo con técnicas matemáticas.
• La química:
  Laplace trabajó con Lavoisier en la determinación del calor específico de los cuerpos, ideando un instrumento para su medida.
• Las matemáticas
  Investigaciones sobre el cálculo de probabilidades .Destacó en gran medida en el denominado cálculo integral y diferencial, dando origen al cálculo de diferencias finitas parciales, y proponiendo un método para la reducción de ciertas integrales como series mediante coeficientes diferenciales. También introdujo el uso de la función potencial.

Realizado por Marisol Torres García, 1º bto B.

Ruffini y William Hamilton

Ruffini: Italia: 22 de septiembre de 1765 / 10 de mayo de 1822.
Estableció las bases de la teoría de las transformaciones de ecuaciones.

Descubrió y formuló la regla del cálculo aproximado de las raíces de las ecuaciones
Regla de Ruffini que permite hallar los coeficientes al resultado de una división polinómica por el binomio (x-r).
Fue el primero en afirmar que las ecuaciones de 5ª grado no se puede resolver por radicales.




William Hamilton: Nació el 4 de agosto de 1805 y murió el 2 de septiembre de 1865. Fue físico, matemático y astrónomo irlandés.
William propuso la teoría de los números complejos. Pares de números reales cuyo conjunto definió una ley de composición conmutativa.
Descubrió la estructura de los cuaternarios, los grabo en una piedra con su navaja y afirmó que cualquier entero puede escribirse como la suma de cuatro cuadrados perfectos.
Una anécdota de su vida era que William Hamilton tenía tanto prestigio en su época que podía andar por los jardines de la universidad aunque estaba prohibido pisar el césped pero nadie era capaz de decirle nada.

Realizado por Mariángeles Torres García, 1º Bto B.

Isaac Newton

1. BIOGRAFÍA:

Nació 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe y murió el 31 de marzo, 1727 fue un físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés. Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra son las mismas que las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes. Es calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra, como la culminación de la Revolución científica, también se conoce como el padre de la mecánica moderna.

1. APORTACIONES A LAS MATEMÁTICAS:

La principal aportación de Newton a las matemáticas fue la constitución de una teoría coherente, el cálculo infinitesimal (que él llamaba cálculo diferencial), cuyos elementos habían sido progresivamente elaborados sobre todo a partir de comienzos del S.XVII.

Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área encerrada bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega.

Newton coincidió con Leibnitz en el descubrimiento del cálculo integral, que contribuiría a una profunda renovación de las Matemáticas; también formuló el teorema del binomio. Pero sus aportaciones esenciales se produjeron en el terreno de la Física.

1. APORTACIONES QUE ENTIENDA A LAS MATEMÁTICAS:

En su teoría de la gravitación universal explicó los movimientos celestes, a partir de la existencia de una fuerza; la fuerza de la gravedad, que actuando a distancia produce una atracción entre masas. Esta fuerza de gravedad es la misma fuerza que en la superficie de la Tierra denominamos peso.

Es una fuerza directamente proporcional al producto de las masas que interactúan e inversamente proporcional a la distancia que las separa. La constante de proporcionalidad, G, se denomina constante de gravitación universal.

Newton consiguió explicar con su fuerza de la gravedad el movimiento elíptico de los planetas.

1. APLICACIONES DE SUS DESCUBRIMIENTOS A OTROS CAMPOS:

La óptica fue otro área por la que Newton demostró interés muy pronto. Al tratar de explicar la forma en que surgen los colores llegó a la idea de que la luz del Sol es una mezcla heterogénea de rayos diferentes —representando cada uno de ellos un color distinto— y que las reflexiones y refracciones hacen que los colores aparezcan al separar la mezcla en sus componentes. Newton demostró su teoría de los colores haciendo pasar un rayo de luz solar a través de un prisma, el cual dividió el rayo de luz en colores independientes.

Newton en el campo de la física postuló las Leyes de Newton, en las que explicaba el movimiento de los cuerpos así como sus efectos y causas.

La primera ley de Newton o ley de la inercia:

Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que otros cuerpos actúen sobre él.

La segunda ley de Newton o ley de la interacción y la fuerza:

La fuerza que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración.

La tercera ley de Newton o ley de acción-reacción:

Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido opuesto.

Marta Jiménez Díaz
1º Bachillerato