jueves, 16 de diciembre de 2010

Trigonometría con Geogebra.

Actividades de Trigonometría realizadas con Geogebra por los alumn@s de 1º Bachillerato B.

¿Cuál sería la distancia de la casa al castillo?
Nota: En todos los ejercicios es recomendable tener activados los rótulos de los objetos. 
En caso contrario, Opciones/Rotulado/Todoslosnuevos objetos

Actividad 1. Medir la altura de una montaña
Resuelve este problema.
“En la llanura, desde un punto de cualquiera, se mide el ángulo B de elevación y se obtiene 43º, tras acercarnos a la montaña 200 m, se vuelve a medir el ángulo C de elevación y se obtiene 52º. Halla la altura de la montaña”


Este clásico problema que se resuelve a mano usando la tangente y creando un pequeño sistema de ecuaciones, (por cierto buen ejercicio), se le puede dar también solución usando Geogebra en unos pocos pasos.

PASOS
  1. En la barra de menús, Elige Visualiza y desactiva la opción Ejes
  2. En el campo de entrada, introduce d = 2 (luego habrá que multiplicar por 100)
  3. Introduce también α = 43º y β = 52º
  4. Elige (Nuevo punto) y Elige (segmento dados punto extremo y su longitud) y haz clic en el punto A. En la ventana que aparece, escribe d y haz clic en el botón aplicar
  5. En el menú Contextual de la letra a (botón derecho después de haberlo seleccionado) , elige propiedades/básico/expone rótulo y selecciona nombre & valor
  6. Elige (Semirrecta que pasa por dos puntos) y dibuja la semirrecta AB
  7. Elige (Ángulo dada su amplitud). Haz clic en el punto B y en el punto A (no cambies el orden). En la ventana que aparece, introduce α y haz clic en el botón aplicar
  8. Dibuja la semirrecta AB' como antes hicimos con AB
  9. Elige (Nuevo Punto) y dibuja el punto C  en la semirrecta AB
  10. Elige  (Ángulo dada su amplitud) haz clic primero en C y luego en B y dibuja el ángulo β = 52º . Y dibuja la semirrecta BC'
  11. Elige (Intersección de dos objetos) Halla el punto de intersección de c y e haciendo clic sucesivamente en cada uno de los dos objetos, se obtiene el punto F
  12. Elige (Recta Perpendicular). Y haz clic en el punto D y en la semirrecta AB para dibujar un recta perpendicular.
  13. Elige (Intersección de dos objetos) Halla el punto de intersección de la recta perpendicular con la semirrecta horizontal AB
  14. Selecciona la recta perpendicular f y haz clic con el botón derecho y desactiva la opción (Muestra objeto)
  15. Elige (Segmento entre dos puntos). Dibuja el segmento DE, y en sus propiedades del menú contextual que se vea el valor
  16. Dibuja el segmento BG y que se vea el nombre & valor 
Actividad 2. Circunferencia circunscrita
"Comprueba que se cumple la propiedad que se cumple en el teorema de los senos de que el cociente entre el lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto es igual a 2 veces el radio de la circunferencia circunscrita."


Esta propiedad es idel para verla con Geogebra y puede ayudar a no olvidarla

PASOS.
  1. Elige (Polígono) y dibuja un triángulo ABC
  2.  Elige (Distancias y Longitud) y haz clic sobre cada uno de los tres lados y expón la medida de sus lados
  3. Elige (Ángulos) y haz clic en el triángulo y expón la medida de sus ángulos
  4. Elige (Mediatriz) y haz clic en dos lados del triángulo para trazar sus mediatrices.
  5. Elige (Intersección de dos objetos) y haz clic en cada una de esas mediatrices y marca el circuncentro. Es interesante mover los vértices del triángulo para ver como cambia la posición del circuncentro y en función del tipo de triángulo.
  6. Elige (Circunferencia dados su centro y uno de sus puntos) y haz clic en el centro y en uno de los vértices del triángulo para dibujar la circunferencia circunscrita.
  7. Oculta las mediatrices (Recuerda las seleccionas, botón derecho y haces clic en muestra objeto)
  8. Dibujamos un diámetro, para ello, Primero, construimos A' el simétrico del vértice A respecto del centro (Refleja Objeto respecto de punto) y haces clic primero en A y luego en el centro. Segundo, Elegimos (Segmento dados dos puntos) y hacemos clic en A y A'. De dicho segmento g mostramos su nombre y su valor haciendo clic en él y en el menú contextual eligiendo nombre & valor.
  9. Escribe en el campo de entrada z = a/sin(α) y abre la ventana algebraica para comprobar que z coincide con el valor del diámetro de la circunferencia circunscrita. Mueve los vértices del triángulo

Actividad 3. Resolver un triángulo. Caso 2 (dos posibles soluciones)
Resuelve un triángulo en el que se conocen a = 6.2 b = 7.4 α = 48º


En este ejercicio a veces es difícil entender que puedan existir dos soluciones (dos triángulos) que cumplan las condiciones que nos marca el enunciado. Geogegra nos ayuda a entenderlo mejor.

PASOS
  1. Introduce los valores de a, b y α
  2. Elige (Segmento dados punto extremo y su longitud ) y haz clic para dibujar el punto A y en la ventana escribe b.
  3. Elige (Ángulo dada su amplitud) y haz clic en B y en A. y elige α. Construye la semirrecta que pasa por A y por B'
  4. Elige (Circunferencia dados su centro y su radio) y haz clic en B y de radio escribe a
  5. Halla la intersección de la semirrecta con la circunferencia (aparecen C y D)
  6. Oculta todo lo que no necesites (Elige el objeto y con el botón derecho desactiva muestra objeto)
  7. Dibuja los triángulos ACB y ADB
  8. Dibuja los ángulos de los dos triángulos ACB y ADB
  9. Muestra el área

Actividad 4. Interpreta el valor del seno


Cualquier razón trigonométrica se obtiene como cociente entre los lados de un triágulo rectángulo.
Vamos a comprobarlo en Geogebra con el seno, que se calcula como cociente entre el lado opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo

PASOS
  1. Elige visualiza y desactiva la opción ejes
  2. Elige Semirrecta que pasa por dos puntos y haz clic en el origen A y en otro punto B para indicar la dirección
  3. Dibuja la semirrecta AC
  4. En el menú contextual de cada lado, desactiva la opción expone rótulo
  5. Elige Ángulo, y haz clic sucesivamente en B, A y C
  6. Elige Nuevo punto y haz clic en el punto D del lado AB
  7. Selecciona Recta perpendicular, haz clic en el punto D y en la semirrecta horizontal AB
  8. Elige Intersección de objetos y haz clic en la recta perpendicular y en el lado oblicuo AC, se obtiene el punto E
  9. En el menú contextual de la recta perpendicular desactiva Muestra objeto
  10. Elige segmento entre dos puntos y haz clic en D y en E
  11. En el menú contextual de este segmento, elige Renombra, ponle b
  12. En el menú contextual del segmento DE elige Propiedades, en la ficha Básico escoge Expone Rótulo/Nombre & Valor, en color pónle color rojo, en Estilo elige groso7
  13. Dibuja el segmento AE, renómbralo como a
  14. Elige Copiar estilo visual y haz clic en el segmento b y luego en a
  15. Elige Insertar texto y haz clic en un punto de la pantalla y escribe “sen” + α + “ = “ + sin(α)
  16. En el menú contextual del texto, pestaña texto, elige el tamaño 18, negrita y en Color azul. Lleva el texto a la parte superior izquierda
  17. Debajo inserta el texto “b/a = ” + b + “/” + a + “ = “ + b/a


    Prueba a mover el punto A y el punto B y comprueba lo que ocurre.

Actividad 5. Interpretación del signo de una razón trigonométrica
El signo de las razones trigonométricas es un concepto que a veces a los alumnos/as les cuesta entender. De nuevo Geogebra viene en nuestra ayuda para facilitarles el camino.
En esta actividad vemos como el seno es positivo en los dos primeros cuadrantes y negativo en el dos siguientes

PASOS
  1. En la barra de menús, elige Visualiza y activa la opción Ejes
  2. Selecciona Desplaza. Pulsa la tecla control y arrastra el origen de coordenadas al centro de la pantalla
  3. Coloca tres puntos A = (0,0) B = (4,0) C = (1,1) Ahora dibuja el ángulo BAC y la semirrecta AC
  4. Elige Insertar texto haz clic en un punto de la pantalla y escribe “sen ” + α + “ = ” +sin( α) 


    Con esta simple representación se pueden observar muchas cosas:
    1. La razón trigonométrica del seno no depende de la distancia del punto C al centro, por lo que para los cálculos se justifica el uso de la circunferencia goniométrica
    2. El signo del seno dependiendo de la posición del punto C en un cuadrante u otro
    3. El valor del seno cuando el ángulo es de 0º, 90º, 180º y 270º 
      4.  
    Ver ejemplo con Geogebra

      Ejercicios adaptados pero sacados del libro de 1º Bachillerato de Editorial Bruño
    Publicado por Departamento de Matemáticas en 0:51
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