Actividades de Trigonometría realizadas con Geogebra por los alumn@s de 1º Bachillerato B.
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| ¿Cuál sería la distancia de la casa al castillo? |
Nota: En todos los ejercicios es recomendable tener activados los rótulos de los objetos.
En caso contrario, Opciones/Rotulado/Todoslosnuevos objetos
Actividad 1. Medir la altura de una montaña
Resuelve este problema.
“En la llanura, desde un punto de cualquiera, se mide el ángulo B de elevación y se obtiene 43º, tras acercarnos a la montaña 200 m, se vuelve a medir el ángulo C de elevación y se obtiene 52º. Halla la altura de la montaña”
Este clásico problema que se resuelve a mano usando la tangente y creando un pequeño sistema de ecuaciones, (por cierto buen ejercicio), se le puede dar también solución usando Geogebra en unos pocos pasos.
PASOS
En la barra de menús, Elige Visualiza y desactiva la opción Ejes
En el campo de entrada, introduce d = 2 (luego habrá que multiplicar por 100)
Introduce también α = 43º y β = 52º
Elige (Nuevo punto) y Elige (segmento dados punto extremo y su longitud) y haz clic en el punto A. En la ventana que aparece, escribe d y haz clic en el botón aplicar
En el menú Contextual de la letra a (botón derecho después de haberlo seleccionado) , elige propiedades/básico/expone rótulo y selecciona nombre & valor
Elige (Semirrecta que pasa por dos puntos) y dibuja la semirrecta AB
Elige (Ángulo dada su amplitud). Haz clic en el punto B y en el punto A (no cambies el orden). En la ventana que aparece, introduce α y haz clic en el botón aplicar
Dibuja la semirrecta AB' como antes hicimos con AB
Elige (Nuevo Punto) y dibuja el punto C en la semirrecta AB
Elige (Ángulo dada su amplitud) haz clic primero en C y luego en B y dibuja el ángulo β = 52º . Y dibuja la semirrecta BC'
Elige (Intersección de dos objetos) Halla el punto de intersección de c y e haciendo clic sucesivamente en cada uno de los dos objetos, se obtiene el punto F
Elige (Recta Perpendicular). Y haz clic en el punto D y en la semirrecta AB para dibujar un recta perpendicular.
Elige (Intersección de dos objetos) Halla el punto de intersección de la recta perpendicular con la semirrecta horizontal AB
Selecciona la recta perpendicular f y haz clic con el botón derecho y desactiva la opción (Muestra objeto)
Elige (Segmento entre dos puntos). Dibuja el segmento DE, y en sus propiedades del menú contextual que se vea el valor
Dibuja el segmento BG y que se vea el nombre & valor
Actividad 2. Circunferencia circunscrita
"Comprueba que se cumple la propiedad que se cumple en el teorema de los senos de que el cociente entre el lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto es igual a 2 veces el radio de la circunferencia circunscrita."
Esta propiedad es idel para verla con Geogebra y puede ayudar a no olvidarla
PASOS.
- Elige (Polígono) y dibuja un triángulo ABC
- Elige (Distancias y Longitud) y haz clic sobre cada uno de los tres lados y expón la medida de sus lados
- Elige (Ángulos) y haz clic en el triángulo y expón la medida de sus ángulos
- Elige (Mediatriz) y haz clic en dos lados del triángulo para trazar sus mediatrices.
- Elige (Intersección de dos objetos) y haz clic en cada una de esas mediatrices y marca el circuncentro. Es interesante mover los vértices del triángulo para ver como cambia la posición del circuncentro y en función del tipo de triángulo.
- Elige (Circunferencia dados su centro y uno de sus puntos) y haz clic en el centro y en uno de los vértices del triángulo para dibujar la circunferencia circunscrita.
- Oculta las mediatrices (Recuerda las seleccionas, botón derecho y haces clic en muestra objeto)
- Dibujamos un diámetro, para ello, Primero, construimos A' el simétrico del vértice A respecto del centro (Refleja Objeto respecto de punto) y haces clic primero en A y luego en el centro. Segundo, Elegimos (Segmento dados dos puntos) y hacemos clic en A y A'. De dicho segmento g mostramos su nombre y su valor haciendo clic en él y en el menú contextual eligiendo nombre & valor.
- Escribe en el campo de entrada z = a/sin(α) y abre la ventana algebraica para comprobar que z coincide con el valor del diámetro de la circunferencia circunscrita. Mueve los vértices del triángulo
Actividad 3. Resolver un triángulo. Caso 2 (dos posibles soluciones)
Resuelve un triángulo en el que se conocen a = 6.2 b = 7.4 α = 48º
En este ejercicio a veces es difícil entender que puedan existir dos soluciones (dos triángulos) que cumplan las condiciones que nos marca el enunciado. Geogegra nos ayuda a entenderlo mejor.
PASOS
Introduce los valores de a, b y α
Elige (Segmento dados punto extremo y su longitud ) y haz clic para dibujar el punto A y en la ventana escribe b.
Elige (Ángulo dada su amplitud) y haz clic en B y en A. y elige α. Construye la semirrecta que pasa por A y por B'
Elige (Circunferencia dados su centro y su radio) y haz clic en B y de radio escribe a
Halla la intersección de la semirrecta con la circunferencia (aparecen C y D)
Oculta todo lo que no necesites (Elige el objeto y con el botón derecho desactiva muestra objeto)
Dibuja los triángulos ACB y ADB
Dibuja los ángulos de los dos triángulos ACB y ADB
Muestra el área
Actividad 4. Interpreta el valor del seno
Cualquier razón trigonométrica se obtiene como cociente entre los lados de un triágulo rectángulo.
Vamos a comprobarlo en Geogebra con el seno, que se calcula como cociente entre el lado opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo
PASOS
Elige visualiza y desactiva la opción ejes
Elige Semirrecta que pasa por dos puntos y haz clic en el origen A y en otro punto B para indicar la dirección
Dibuja la semirrecta AC
En el menú contextual de cada lado, desactiva la opción expone rótulo
Elige Ángulo, y haz clic sucesivamente en B, A y C
Elige Nuevo punto y haz clic en el punto D del lado AB
Selecciona Recta perpendicular, haz clic en el punto D y en la semirrecta horizontal AB
Elige Intersección de objetos y haz clic en la recta perpendicular y en el lado oblicuo AC, se obtiene el punto E
En el menú contextual de la recta perpendicular desactiva Muestra objeto
Elige segmento entre dos puntos y haz clic en D y en E
En el menú contextual de este segmento, elige Renombra, ponle b
En el menú contextual del segmento DE elige Propiedades, en la ficha Básico escoge Expone Rótulo/Nombre & Valor, en color pónle color rojo, en Estilo elige groso7
Dibuja el segmento AE, renómbralo como a
Elige Copiar estilo visual y haz clic en el segmento b y luego en a
Elige Insertar texto y haz clic en un punto de la pantalla y escribe “sen” + α + “ = “ + sin(α)
En el menú contextual del texto, pestaña texto, elige el tamaño 18, negrita y en Color azul. Lleva el texto a la parte superior izquierda
Debajo inserta el texto “b/a = ” + b + “/” + a + “ = “ + b/a
Prueba a mover el punto A y el punto B y comprueba lo que ocurre.
Actividad 5. Interpretación del signo de una razón trigonométrica
El signo de las razones trigonométricas es un concepto que a veces a los alumnos/as les cuesta entender. De nuevo Geogebra viene en nuestra ayuda para facilitarles el camino.
En esta actividad vemos como el seno es positivo en los dos primeros cuadrantes y negativo en el dos siguientes
PASOS
En la barra de menús, elige Visualiza y activa la opción Ejes
Selecciona Desplaza. Pulsa la tecla control y arrastra el origen de coordenadas al centro de la pantalla
Coloca tres puntos A = (0,0) B = (4,0) C = (1,1) Ahora dibuja el ángulo BAC y la semirrecta AC
Elige Insertar texto haz clic en un punto de la pantalla y escribe “sen ” + α + “ = ” +sin( α)
Con esta simple representación se pueden observar muchas cosas:
- La razón trigonométrica del seno no depende de la distancia del punto C al centro, por lo que para los cálculos se justifica el uso de la circunferencia goniométrica
- El signo del seno dependiendo de la posición del punto C en un cuadrante u otro
- El valor del seno cuando el ángulo es de 0º, 90º, 180º y 270º
Ver ejemplo con Geogebra
Ejercicios adaptados pero sacados del libro de 1º Bachillerato de Editorial Bruño
