Las siguientes preguntas forman parte del Trabajo del Tema 1 "Enteros y Divisibilidad" de los alumnos / as de 2 º de ESO Alfa del IES Alfonso XI de Alcalá la Real.
1. ¿Qué dice la conjetura de Goldbach? ¿Qué significa conjetura? ¿En qué año se hizo dicha conjetura? Pon ejemplos.
La conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
Una conjetura es la opinión o la valoración que tenemos sobre una cosa después de observar o tener indicios de algo. En matemáticas una conjetura es una afirmación que no ha sido probada ni desmentida, una vez que es probada, es un teorema.
La conjetura de Goldbach se hizo en el año 1742.
Ejemplos:
4=2+2
6=3+3
18=7+11
20=17+3.
Hay un video interesante sobre esta conjetura en youtube, sigue el enlace.
2. ¿Qué son los números primos de Mersenne? Pon ejemplos.
Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2. Siendo n un número primo.
Mn = 2n −1
Ejemplos:
M2 = 22 −1 M2 = 4−1=3
M3 = 23 −1 M3 = 8−1=7
M5 = 25 −1 M5 = 32−1=31
3. ¿Quién es Sophie Germain? ¿Cuáles son los primos que llevan su nombre?
Marie-Sophie Germain nació en 1776 y murió en 1831, fue una matemática francesa. Uno de sus más importantes trabajos, fue el estudio de los llamados números primos de Sophie Germain. Comenzó a estudiar matemáticas a los 13 años, pero a sus padres no les parecía bien. Más tarde consiguió apuntes de algunas clases de la Escuela Politécnica de París, ya que no admitían mujeres. Bajo sus seudónimos, mantuvo correspondencia con Lagrange y con Gauss, aunque a ambos les conoció posteriormente. Lagrange se convirtió en su protector. En 1811 participó en un concurso de la Academia Francesa de las Ciencias , aunque fue rechazada dos veces lo ganó en 1816 por lo que fue la primera mujer que asistió como miembro a las sesiones de la academia y la puso junto a los grandes matemáticos de la historia.
Un número primo p es un número de Sophie Germain si 2p+1 también es un número primo, es decir, son los números primos cuyo doble aumentado en una unidad es también un número primo.
Ejemplos:
P=2, 2*2+1=5
P=3, 3*2+1=7
P=5, 5*2+1=11
4. ¿Quién fue Ramanujan? ¿Cuál es el número de Hardy-Ramanujan? ¿Qué le pasó a Ramanujan con un taxi?
Srinivāsa Aaiyangār Rāmānujan fue un matemático hindú, nació en 1887 .A los doce años dominaba la trigonometría, y a los 15 le prestaron un libro con 6000 teoremas conocidos, sin demostraciones. Pero sin embargo suspendió los exámenes universitarios porque solo le interesaban sus diversiones matemáticas.
En 1912 comunicó sus resultados a tres importantes matemáticos, pero solo le respondió Godfrey Harold Hardy, quien junto a un amigo suyo descifró 120 formulas y teoremas de Ramanujan, pensó que estaba ante un genio, por lo que le invitó a ir a Inglaterra y en 1914 comenzaron a trabajar juntos; aunque debido a su salud murió tres años después.
El número de Hardy-Ramanujan es el 1729, es el número natural más pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes.
1729 = 13 + 123 = 93 + 103 = 1+1728 = 729+ 1000.
La historia del taxi es la anécdota que le da nombre a éstos números.Cuando Ramanujan estaba enferrmo en el hospital, Hardy iba a visitarlo y cogió un taxi, el número del taxi era 1729, le pareció un número soso, poco interesante. Al llegar al hospital, le dijo a Ramanujan que ése número era muy aburrido y éste le contestó diciéndole que era un número muy interesante, porque era el número más pequeño que se podía expresar como la suma de dos cubos positivos de dos formas distintas.
5. ¿Qué forma tienen los números primos de Fermat? Escribe cuáles son los cinco primeros números primos de Fermat ¿Quién y cuándo demostró que el quinto no era primo?
Fermat realizó la conjetura de que todos los números naturales de la forma:
siendo n natural, eran números primos.
Los cinco primeros números de Fermat son:
F0 = 3
F1 = 5
F2 = 17
F3 = 257
F4 = 65537
Leonhard Euler demostró en 1732 que el quinto no era primo. Al tomar n= 5 se obtiene un número compuesto: el 4294967297
